\chapter{相变研究的历史脉络与理论演进}
\author{李国斌 }
\date{2025.08.29}

	\begin{abstract}
		相变是物质从一种相（如固态、液态、气态）转变为另一种相的过程，是物理学、化学和材料科学中的核心概念。本文系统梳理了相变研究的历史发展脉络，从早期的宏观热力学观察，到吉布斯建立的平衡态热力学理论框架，再到朗道基于序参量和对称性破缺提出的唯象理论，最后到二十世纪中后期威尔逊等人为解决临界现象难题而发展的重整化群理论。文章还简要探讨了拓扑相变、量子相变等现代前沿领域，展现了相变理论从宏观唯象到微观精确、从简单平衡系统到复杂非平衡系统的演进历程，并强调了其跨学科应用的重要性。
		\textbf{关键词：} 相变；热力学；统计物理；临界现象；朗道理论；重整化群
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	相变——物质状态在外部参数（如温度、压强）连续变化下发生的突然转变——是大自然中最普遍而又最引人入胜的现象之一。从水的结冰与沸腾，到磁体的失磁，再到宇宙早期结构的形成，相变无处不在。对相变的理解，不仅深刻揭示了物质世界的内部组织规律，也推动了从冶金学到宇宙学等诸多领域的科技进步。本文旨在回顾相变研究数百年的思想史，勾勒出其理论框架从萌芽、建立到深化、扩展的完整图景。
	
	\section{早期观察与热力学奠基}
	人类对相变的实践认识远早于科学理论的建立。古代文明早已掌握熔炼金属、制陶、酿酒等涉及相变的技术。然而，直到十八世纪，随着量热学的发展，相变研究才真正步入科学阶段。
	
	\subsection{潜热概念的提出}
	1761年，约瑟夫·布莱克（Joseph Black）在实验中发现，冰在融化时虽然持续吸收热量，但温度却保持不变。他由此提出了“潜热”（Latent Heat）的概念，将相变过程（吸收/释放潜热）与单纯的温度变化过程（吸收/释放“显热”）区分开来。这一发现是迈向定量热力学的关键一步。
	
	\subsection{热力学定律与吉布斯相律}
	十九世纪，热力学理论大厦被迅速建立起来。萨迪·卡诺（Sadi Carnot）、鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）、开尔文勋爵（Lord Kelvin）等人确立了热力学第一定律（能量守恒）和第二定律（熵增原理）。
	\\
	最终，约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在1876年至1878年间发表了一系列论文，为相平衡理论画上了圆满的句号。他引入了\textbf{吉布斯自由能} $G = H - TS$ 作为判断等温等压过程方向和限度的判据。
	\begin{definition}[相平衡条件]
		多组分系统达到相平衡时，各相的温度 $T$、压强 $p$ 以及每个组元在各相中的\textbf{化学势} $\mu_i$ 必须相等。
	\end{definition}
	他更是推导出了著名的\textbf{吉布斯相律}：
	\begin{theorem}[吉布斯相律]
		对于一个处于热力学平衡的系统，其自由度 $F$、组元数 $C$ 和相数 $P$ 满足：
		\begin{equation}
			F = C - P + 2
			\label{eq:phase_rule}
		\end{equation}
	\end{theorem}
	相律揭示了多相平衡系统中独立变量的数目，成为了分析相图的金科玉律。至此，相变的宏观热力学理论已然完备，它能精确预言相变在何种条件下发生，但并未揭示其微观机制。
	
	\section{统计物理与微观理论的探索}
	二十世纪初，原子论的确立和量子力学的诞生，促使科学家从微观角度理解相变的本质。
	
	\subsection{伊辛模型与临界现象}
	1920年，威廉·楞次（Wilhelm Lenz）提出了伊辛模型（Ising Model），并交由其学生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）求解。该模型将铁磁性简化为晶格上自旋的相互作用，为用统计力学研究相变提供了一个清晰的范例。虽然一维伊辛模型被证明没有相变，但该模型的思想极具启发性。
	\\
	同时，实验发现，在气液临界点或铁磁居里点附近，物质的许多性质（如比热、磁化率）会出现发散行为，这被称为\textbf{临界现象}。然而，基于平均场近期的经典理论（如范德瓦尔斯方程、外斯分子场理论）无法准确描述这些奇异行为。
	
	\subsection{朗道的唯象理论}
	1937年，列夫·朗道（Lev Landau）提出了一个强大的唯象理论，统一描述了多种相变。
	朗理论的核心是\textbf{序参量}（Order Parameter），它是一个在高温相为零、在低温相非零的宏观量，用于刻画相的有序程度（如磁化强度、密度差）。相变被视为一种\textbf{对称性破缺}过程。
	\\
	朗道将系统的自由能 $F$ 在临界点附近展开为序参量 $\phi$ 的幂级数：
	\begin{equation}
		F(T, \phi) = F_0(T) + a(T)(\phi^2) + \frac{b(T)}{2}(\phi^4) + \cdots
		\label{eq:landau_free_energy}
	\end{equation}
	相变的发生由系数 $a(T)$ 的变号驱动（通常假设 $a(T) = \alpha (T - T_c)$）。通过求解 $\partial F / \partial \phi = 0$ 即可得到平衡态的序参量及其它热力学量。
	朗道理论成功描述了相变的平均场行为，但其预言的临界指数与实验不符，预示着更深层物理的存在。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			% Draw axes
			\draw[<->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[below] {序参量 $\phi$};
			\draw[->, thick] (0,0) -- (0, 3.5) node[left] {$F(\phi)$};
			
			% Draw Landau free energy curves for T > Tc
			\draw[domain=-1.7:1.7, smooth, thick, blue, samples=50] plot (\x, {1.5 + 0.5*(\x*\x) + 0.1*(\x*\x*\x*\x)});
			\node[blue] at (2.2, 3.2) {$T > T_c$};
			
			% Draw Landau free energy curves for T = Tc
			\draw[domain=-1.7:1.7, smooth, thick, red, samples=50] plot (\x, {1.5 + 0.0*(\x*\x) + 0.1*(\x*\x*\x*\x)});
			\node[red] at (2.2, 2.5) {$T = T_c$};
			
			% Draw Landau free energy curves for T < Tc
			\draw[domain=-1.7:1.7, smooth, thick, black, samples=50] plot (\x, {1.5 - 0.5*(\x*\x) + 0.1*(\x*\x*\x*\x)});
			\node at (2.2, 1.2) {$T < T_c$};
			
			% Mark minima for T < Tc
			\draw[dashed] (-1.58, 0) -- (-1.58, 0.9);
			\draw[dashed] (1.58, 0) -- (1.58, 0.9);
			\draw[fill] (-1.58, 0.9) circle (2pt);
			\draw[fill] (1.58, 0.9) circle (2pt);
			
			% Add a label for the symmetric double well
			\node at (0, 1.5) {对称破缺};
		\end{tikzpicture}
		\caption{朗道自由能函数示意图。当 $T > T_c$ 时，自由能在 $\phi=0$ 处有唯一极小值，对应无序相。当 $T < T_c$ 时，自由能呈现双阱形态，两个极小值对应新的有序相，系统对称性发生破缺。}
		\label{fig:landau}
	\end{figure}
	
	\section{临界现象与重整化群理论}
	二十世纪六十年代，对临界现象的深入研究引发了理论物理的革命。
	
	\subsection{标度律与普适性}
	实验发现，尽管各类相变系统迥异，但其临界指数却表现出惊人的相似性，存在简单的\textbf{标度关系}，并可按\textbf{普适类}划分。利奥·卡丹诺夫（Leo Kadanoff）于1966年提出的标度变换思想为理解这一普适性提供了物理图像：在临界点附近，不同尺度的涨落相互耦合，导致系统具有尺度不变性。
	
	\subsection{威尔逊的重整化群理论}
	肯尼斯·威尔逊（Kenneth G. Wilson）在1971年基于卡丹诺夫的思想，发展了\textbf{重整化群（Renormalization Group, RG）}理论，为临界现象提供了彻底的解决方案。
	\\
	RG理论的核心操作是“粗粒化”：通过不断地对系统进行尺度缩放，积分掉短程自由度，从而得到一系列有效的哈密顿量。临界点对应于RG流的不动点。不同系统若流向同一个不动点，则属于同一普适类，并拥有相同的临界指数。RG理论完美解释了标度律和普适性，并给出了计算临界指数的系统方法。威尔逊也因此荣获1982年诺贝尔物理学奖。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.1, node distance=1.5cm and 2.5cm]
			% Define blocks and arrows style
			\tikzset{
				block/.style = {rectangle, draw, thick, text width=6em, minimum height=3em, align=center},
				arrow/.style = {thick, ->, >=stealth}
			}
			
			% Nodes
			\node[block] (lattice) {原始晶格 \\ 哈密顿量 $H$};
			\node[block, right=of lattice] (coarse) {粗粒化变换 \\ $R_b$};
			\node[block, right=of coarse] (newham) {有效哈密顿量 $H' = R_b[H]$};
			\node[block, below=of coarse] (rgflow) {RG流方程};
			\node[block, right=of newham] (fixedpoint) {不动点 $H^*$};
			
			% Arrows for RG transformation
			\draw[arrow] (lattice) -- (coarse);
			\draw[arrow] (coarse) -- (newham);
			\draw[arrow, dashed] (newham.south) |- ++(0, -0.5) -| (lattice.south);
			\node at (5.2, -1.2) {迭代};
			
			% Arrows and text for RG Flow
			\draw[arrow, decorate, decoration={snake, amplitude=1pt, segment length=5pt}] (rgflow) -- (coarse);
			\node[left=0.1cm of rgflow] {RG流};
			
			% Fixed point
			\draw[arrow, red, very thick] (newham) -- (fixedpoint);
			\node[above=0.1cm of fixedpoint] {临界点};
			
		\end{tikzpicture}
		\caption{重整化群（RG）理论思想示意图。通过对微观自由度进行持续的粗粒化变换，系统的有效哈密量随之演变（RG流）。临界行为由RG流的不动点控制，该点对应着系统的临界状态。}
		\label{fig:rg}
	\end{figure}
	
	\section{现代发展与前沿}
	相变理论至今仍在不断扩展和深化，其主要前沿包括：
	
	\subsection{拓扑相变}
	超越朗道的对称性破缺范式。例如，大卫·索利斯（David Thouless）等人发现的Kosterlitz-Thouless（KT）相变，其机制是拓扑缺陷（如涡旋）的绑定与解绑定，而不是序参量的建立。相关研究获得了2016年诺贝尔物理学奖。
	
	\subsection{量子相变}
	发生在绝对零度附近，由量子涨落而非热涨落驱动相变。通过调节压强、磁场等非温度参数引发，是凝聚态物理研究的前沿热点。
	
	\subsection{非平衡相变}
	研究系统在远离平衡态时发生的相变，如动力学相变、活性物质系统中的集体行为等，这类相变往往不满足平衡态热力学的基本假设，更为复杂。
	
	\section{结论}
	相变研究的历史，是一部人类对物质世界认知不断深化的史诗。它始于对宏观现象的观察与测量，在吉布斯手中构建了宏伟的热力学殿堂；继而借助统计力学窥探其微观机理，经朗道之手提炼出序参量与对称性破缺的核心思想；最终因临界现象的挑战，催生了威尔逊的重整化群这一深刻而强大的理论工具，揭示了尺度与普适性的奥秘。如今，相变研究已超越传统的平衡态范畴，向拓扑、量子、非平衡等前沿领域拓展，其思想和方法也持续影响着物理乃至其他更广阔的学科领域。
	
	% 参考文献 (建议使用BibTeX)
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{landau1937} Landau, L. D. (1937). On the theory of phase transitions. \textit{Zh. Eksp. Teor. Fiz.}, 7, 19-32.
		\bibitem{wilson1971} Wilson, K. G. (1971). Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture. \textit{Physical Review B}, 4(9), 3174.
		\bibitem{huang1987} 黄克孙. (1987). \textit{统计力学}. 高等教育出版社.
		\bibitem{ Kardar2007} Kardar, M. (2007). \textit{Statistical Physics of Fields}. Cambridge University Press.
		\bibitem{chaikin1995} Chaikin, P. M., \& Lubensky, T. C. (1995). \textit{Principles of Condensed Matter Physics}. Cambridge University Press.
	\end{thebibliography}
	
	% 附录
	\begin{appendices}
		\section{吉布斯相律的简单推导}
		考虑一个具有 $C$ 个组元、$P$ 个相的系统。要完全描述整个系统的强度性质，需要确定的变量数为：
		\begin{itemize}
			\item 温度 $T$ 和压强 $p$：2个
			\item 每个相中各組元的化学势：共 $C \times P$ 个。但平衡时，每个组元在各相中的化学势相等：$\mu_i^{(1)} = \mu_i^{(2)} = \cdots = \mu_i^{(P)}$ for $i=1,2,...,C$。这提供了 $C \times (P-1)$ 个约束条件。
			\item 每个相的组成需要 $C-1$ 个摩尔分数变量来描述（因为总和为1），共 $P \times (C-1)$ 个变量。
		\end{itemize}
		因此，总的自由度（独立变量数）为：
		\begin{align*}
			F &= [\text{变量总数}] - [\text{约束条件数}] \\
			&= \underbrace{2}_{T,p} + \underbrace{P(C-1)}_{\text{组成}} - \underbrace{C(P-1)}_{\text{化学势平衡约束}} \\
			&= 2 + PC - P - CP + C \\
			&= C - P + 2
		\end{align*}
		此即吉布斯相律。
	\end{appendices}
	